Разница между средним значением и медианой
Среднее значение и медиана представляют собой разный результат, который можно получить из набора чисел. Среднее значение, также иногда называемое «средним», находится путем сложения всех чисел в наборе и последующего деления этой суммы на количество чисел в этом наборе. Напротив, медиана — это центральное значение набора. Его можно найти, выровняв все числа от наименьшего к наибольшему (или наоборот), а затем выбрав среднее число. Следовательно, одно из основных различий между средним значением и медианой заключается в том, что для нахождения среднего значения необходимы вычисления, а для медианы нет.
Расчет среднего и медианы
Чтобы вычислить среднее значение, все числа необходимо сложить, а затем разделить на количество чисел в наборе.
Например, это шаги для нахождения среднего значения набора 3, 3, 6, 1, 5, 2 и 9:
- Сложите числа, которые нужно сложить вместе: 3+3+6+1+5+2+9=29
- Далее эту сумму (29) нужно разделить на количество чисел (7): 29/7=4.143
- Следовательно, среднее значение набора чисел (3, 3, 6, 1, 5, 2 и 9) равно 4,143.
Напротив, медиана находится вообще без каких-либо вычислений. Медиану можно найти, просто выбрав в наборе число, имеющее равное количество больших и меньших цифр («среднее» числовое значение).
Например, это шаги для нахождения медианы одного и того же набора чисел (3, 3, 6, 1, 5, 2 и 9):
Набор чисел должен быть выровнен от меньшего к большему: 1, 2, 3, 3, 5, 6, 9.
Теперь внешние цифры зачеркиваются, пока не будет найдена центральная:
1, 2, 3, 3, 5, 6, 9
1, 2, 3, 3, 5, 6, 9
1, 2, 3, 3, 5, 6, 9
Следовательно, медиана набора (1, 2, 3, 3, 5, 6 и 9) равна 3
Медиану проще всего найти, когда имеется нечетное количество чисел. Если существует набор с четным количеством чисел, два центральных числа усредняются для получения медианы. То есть два центральных числа следует сложить, а затем разделить на два, чтобы найти медиану.
Когда использовать среднее значение или медиану
Как среднее, так и медиана используются для определения центральных тенденций («середины») набора чисел. Но в зависимости от обстоятельств набора одно может быть более полезнее для этой цели, чем другое. Если набор включает числа со значениями, расположенными ближе друг к другу и без экстремальных выбросов (или значений, которые лежат далеко за пределами основного набора значений), возможно, лучше всего рассчитать среднее значение, чтобы найти центральные тенденции набора.
С другой стороны, если ряд чисел имеет много отклонений, среднее значение будет искажено, и среднее значение не обязательно будет отражать середину этого набора. В этом случае медиана может быть более полезной для определения среднего тренда.
Когда использовать среднее значение
Разницу между полезностью среднего и медианы можно увидеть при рассмотрении следующего набора чисел: 1, 2, 3, 4, 100. В этом наборе есть очевидный выброс (100), значение которого намного выше, чем у остальных. Учитывая этот выброс, среднее значение не будет точно отражать середину большинства чисел набора.
Как показано выше, среднее значение можно найти по формуле:
- Добавляем цифры: 1+2+3+4+100=110
- Затем разделим эту сумму (100) на количество чисел (5): 110/5 = 22
- среднее значение, равно 22
22 намного выше, чем у большинства чисел набора, и мало напоминает средние значения большинства чисел в наборе и, следовательно, не является лучшим представлением середины набора.
Таким образом, хотя среднее значение действительно показывает средневзвешенное значение группы чисел, оно наиболее полезно, когда числа относительно близки друг к другу. В этом примере, учитывая выброс, медиана может быть более полезна при определении центрального значения чисел в наборе.
Когда использовать медиану
Медиана лучше представляет центр набора чисел, чем среднее значение, когда набор имеет выбросы. Выбросы влияют на медиану менее существенно, чем на среднее значение. Следовательно, при наличии выбросов медианное значение будет ближе к значению большинства чисел и, следовательно, лучше отражает центральную тенденцию набора. В этом можно убедиться, изучив тот же набор чисел, что и выше (1, 2, 3, 4, 100), и найдя медиану.
Как показано выше, медиану можно найти по формуле:
- Расстановка чисел от наименьшего значения к наибольшему
- Вычеркиваем внешние цифры до тех пор, пока не будет достигнут центр:
1, 2, 3, 4, 100
1, 2, 3, 4, 100
- Чтобы найти медиану, которая равна 3
В этом случае медиана (3) более полезна, поскольку она более репрезентативна для приведенных чисел. Медиана (3) намного ближе к большинству чисел в наборе, чем среднее значение (22), и поэтому более точно представляет среднее или центральное значение набора.
Примеры среднего и медианного значения
Пример 1. Найдите среднее и медиану набора чисел: 24, 59, 11, 3 и 75.
Среднее:
- Сложите числа вместе: 24+59+11+3+75=172
- Разделим эту сумму на количество чисел в наборе (5):172/5=34,4
- Таким образом, среднее значение составляет 34,4.
Медиана:
- Перечислите числа от наименьшего к наибольшему: 3, 11, 24, 59, 75.
- Вычеркивайте внешние цифры, пока не дойдете до центральной:
3, 11, 24, 59, 75
3, 11, 24, 59, 75
Таким образом, медиана равна 24
Пример 2. Найдите среднее и медиану набора чисел: 11, 14, 17, 12, 13 и 16.
Среднее значение:
- Сложите числа вместе: 11+14+17+12+13+16=83
- Разделим эту сумму на количество чисел в наборе (6): 83/6=13,833
- Таким образом, среднее значение составляет 13,833.
Медиана:
- Перечислите числа от наименьшего к наибольшему: 11, 12, 13, 14, 16, 17.
- Вычеркивайте внешние цифры, пока не дойдете до центральной:
11, 12, 13, 14, 16, 17
11, 12, 13, 14, 16, 17
Затем 13 и 14 усредняются, чтобы получить медиану 13,5.
Пример 3. Найдите среднее и медиану набора чисел: 1, 10, 100 и 1000.
Среднее значение:
- Сложите числа вместе: 1+10+100+1000=1,111
- Разделим эту сумму на количество чисел в наборе (4): 1,111/4=277,75
- Таким образом, среднее значение составляет 277,75.
Медиана:
- Перечислите числа от наименьшего значения к наибольшему: 1, 10, 100, 1000.
- Вычеркивайте внешние цифры, пока не дойдете до центральной:
1, 10, 100, 1000
- 10 и 100 усредняются, чтобы получить медиану 55.
Краткие итоги урока
Среднее значение и медиана являются двумя важными показателями центральной тенденции. Среднее значение более полезно, если числа ближе по значению (нет выбросов). Медиана более полезна, если есть выбросы (распределение чисел искажено).
Среднее значение представляет собой среднее значение набора чисел и находится путем сложения всех чисел и деления этой суммы на количество значений в наборе.
Медиана — это центральное значение группы чисел. Медиана находится путем выравнивания чисел от наименьшего к наибольшему и выбора среднего числа. Если набор чисел имеет четное количество, то два средних числа усредняются для получения медианы.
