Квартили и межквартильный размах | Расчет и примеры

Что такое квартиль?

В математике существует множество способов представления и интерпретации данных. Один из способов интерпретации— найти медиану, среднюю точку набора данных. Медиана определяет точку, в которой половина точек данных опускается ниже, а половина — выше. Это может быть интересная информация. Например, если 11 учащихся сдали тест с максимально возможным баллом 10, было бы интересно узнать, что средний балл составил 6. Средний балл 6 на тесте означает, что половина класса набрала 6 или выше, а половина класса набрал 6 или ниже.

Что не известно, так это согласованность оценок. Получила ли большая часть класса 6 баллов, при этом только один ученик получил оценку ниже, а другой — выше? Был ли класс разделен на пять учеников, заваливших тест с результатом 1, и пять учеников, сдавших тест с результатом по 10 баллов каждый?

Лучший способ определить согласованность оценок в наборе— это определить квартили. Что такое квартиль? Квартиль — это четверть. Точно так же, как четверть — это четверть доллара, квартиль — это четверть набора данных. С помощью квартилей можно более четко увидеть распределение оценок.

Вместо того, чтобы иметь только среднюю точку, квартили позволяют исследователям легко увидеть, где проходят границы между первыми 25% данных и вторыми 25%, известные как первый квартиль, а также границу, которая отмечает отметка 75% набора данных, известная как третий квартиль. Разбив набор (ряд) на четыре равные части, исследователи могут увидеть согласованность оценок и определить диапазон, в который попадает 50% данных. Этот 50%-й участок между первым и третьим квартилем часто называют средним квартилем.

Что такое межквартильный размах (диапазон) в математике

Если определение квартиля относится к четвертям (разбиение данных на четыре равные части), то что такое межквартильный размах? Межквартильный размах (IQR) — это диапазон (разница) между третьим и первым квартилем. Точно так же, как диапазон находится путем вычитания наименьшей точки из самой большой точки, межквартильный диапазон — это диапазон среднего квартиля набора данных.

Как найти квартили

Следующая проблема заключается в том, как найти квартиль или как рассчитать квартиль. Для этого необходимо провести некоторые вычисления.

Чтобы проиллюстрировать шаги по нахождению квартилей, рассмотрим результаты ранее упомянутого теста.

Шаг 1
Перечислите точки данных в числовом порядке от наименьшего к наибольшему, если они еще не упорядочены.

Первым шагом к нахождению межквартильного диапазона является перечисление набора данных в числовом порядке.

Шаг 2
Определите медиану, найдя точку точно в середине набора. Для нечетного числа точек это влечет за собой идентификацию данных, которые имеют одинаковое количество точек слева и справа.

Прежде чем можно будет найти первый или третий квартиль, необходимо найти медиану.

Шаг 3
Затем найдите среднюю точку в левой половине (внизу) и среднюю точку в правой половине (вверху). Обратите внимание, что медиана не включена ни в нижнюю, ни в верхнюю часть набора данных.

Первый квартиль находится на полпути между самым низким баллом и медианой, а третий квартиль — на полпути от медианы к вершине набора.

Шаг 4
Обозначьте первый квартиль Q1, а третий квартиль Q3.

Q1 и Q3 используются для обозначения первого и третьего квартилей соответственно.

Итак, нахождение первого и третьего квартиля набора— это всего лишь вопрос нахождения медианы первой половины и медианы второй половины данных.

Как найти первый квартиль

Потренируйтесь, как найти первый квартиль с помощью этого набора (ряда):

25, 16, 20, 17, 20, 23, 20, 15, 17, 19, 21, 17, 18, 19, 19

Шаг 1
Порядок 15, 16, 17, 17, 17, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 23, 25.
Шаг 2
Определите медиану

Шаг 3

Определите среднюю точку первой половины данных (меньше медианы) и обозначьте ее Q1.

Q1 (первый квартиль) этого набора данных равен 17. Это означает, что 25% точек находятся ниже 17, а 75% точек находятся выше 17.

Как найти третий квартиль

Шаги по поиску третьего квартиля такие же, как и при поиске первого квартиля, за исключением того, что используются данные, которые выше медианы.

Попрактикуйтесь в поиске третьего квартиля предыдущего набора:

25,16,20,17,20,23,20,15,17,19,21,17,18,19,19

Шаг 1

Порядок 15, 16, 17, 17, 17, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 21, 23, 25

Шаг 2

Определите медиану

Шаг 3

Определите среднюю точку второй половины данных (больше медианы) и назовите ее Q3.

Учитывая медиану 19 и Q3 всего 20, ясно видно, что многие баллы в этом наборе данных относятся к высоким подростковым баллам. Эта информация дает ясность относительно того, насколько последовательны оценки по всем направлениям.

Как найти межквартильный размах

Нахождение Q1 и Q3 — это первые шаги к нахождению межквартильного размаха. Как указывалось ранее, межквартильный диапазон — это диапазон среднего квартиля (50% данных, которые лежат между Q1 и Q3). Шаги по поиску межквартильного диапазона начинаются с поиска Q1 и Q3 набора, а затем поиска разницы между этими квартилями.

Возвращаясь к предыдущему набору, тест для 11 студентов. Набор был разделен на четыре квартиля с указанием Q1 и Q3, например:

Чтобы найти межквартильный размах, необходимо сначала определить Q1 и Q3.

Чтобы найти межквартильный размах, просто вычтите Q1 из Q3, вот так:

Сравнение межквартильного диапазона (IQR) с диапазоном показывает, что IQR дает ценную информацию о средних 50 процентах данных в наборе.

Важность IQR легко увидеть, если сравнить его с диапазоном набора данных. Здесь средний балл равен 6, что означает, что половина баллов была выше, а половина ниже 6, но само по себе это не дает много полезной информации о самом тесте или тестируемых.

Рассмотрение полного диапазона не дает больше полезной информации, поскольку диапазон набора данных равен 9 (практически весь возможный диапазон в тесте). Однако IQR, диапазон лишь средних 50% оценок, показывает очень небольшой диапазон — всего 2 балла. Это означает, что 50% оценок находились в пределах 2 баллов по возможной шкале. Это свидетельствует о высокой согласованности результатов и может быть истолковано как означающее, что учащиеся в целом набрали одинаковые средние баллы по тесту, лишь с небольшими оценками на крайнем верхнем или нижнем уровне.

Краткие итоги урока

Межквартильный размах (IQR) относится к диапазону оценок в центре набора данных (средние 50% точек). Чтобы найти IQR, необходимо сначала найти медиану (середину), а затем определить Q1 (первый квартиль) и Q3 (третий квартиль) набора, найдя медиану либо нижней половины (Q1) или верхнюю половину (Q3) соответственно.

Квартили — сегменты, представляющие одну четверть данных в наборе, — важны, поскольку помогают исследователям интерпретировать данные с большей точностью. Простые медианные и размаховые оценки дают некоторую, но не большую, информацию о наборе данных. В то время как IQR показывает, где половина точек в наборе находится в пределах возможностей. Это гораздо полезнее, чем знать, насколько широк весь набор оценок.

Часто задаваемые вопросы

Каков межквартильный размах?

Межквартильный диапазон относится к диапазону между Q1 и Q3 набора. Q1 представляет собой точку отсечения для первых 25% точек, а Q3 представляет собой границу для последней четверти точек.

Как найти Q1 и Q3?

Q1 — это точка ровно посередине нижней половины ряда. Найдите ее, найдя медиану данных ниже медианы. Q3 — это середина пути от медианы до конца набора. Найдите его, найдя медиану половины данных выше медианы.

Что такое 1 и 3 квартиль?

Квартиль ссылается на четыре части. При нахождении квартилей набор разбивается на четыре отдельные части, разделенные Q1 (после первой четверти), медианой (на середине точек) и Q3 (после третьей четверти данных).

Как найти межквартильный размах при нечетных числах?

Чтобы найти межквартильный диапазон с нечетным числом точек, сначала нужно найти данные в числовом порядке. Затем определите медианное число, чтобы разделить набор данных пополам. Наконец, усредните два средних числа в каждой половине (не включая медианное число), чтобы получить Q1 (нижняя половина) и Q3 (верхняя половина).