Обратное утверждение
Условный оператор — это оператор if-then (если-то), в котором для достижения некоторого вывода должны быть выполнены некоторые условия. Условное утверждение содержит гипотезу, которая является частью утверждения «если». Эти условия должны быть выполнены для того, чтобы прийти к заключению, части заявления «затем». Например, рассмотрим утверждение: «Если небо голубое, значит, на нем солнечно». Гипотеза состоит в том, что небо голубое, а вывод заключается в том, что оно солнечное. Чтобы записать это математически, для двух утверждений p и q запишите p → q, это означает «если p, то q». Логическая эквивалентность означает, что два утверждения доказуемы друг из друга или имеют одинаковое значение истинности. Это означает, что первое утверждение подразумевает второе утверждение, а второе утверждение также подразумевает первое. Например, если число делится на 14, то оно делится на 2 и 7. Аналогично, если число делится на 2 и 7, то оно делится на 14. Эти два утверждения логически эквивалентны.
Обратная сторона утверждения — это когда гипотеза и вывод из утверждения отрицаются одновременно. Для утверждения p → q
обратное равно ¬p → ¬q , где символ означает «нет». Порядок следования гипотезы и вывода остается прежним, но они оба отрицаются. Например, обратным утверждению «если небо голубое, то на нем солнечно» является утверждение «Если небо не голубое, то на нем не солнечно».
Пример обратного утверждения
Рассмотрим утверждение «если n² нечетно, то оно также нечетно». Обратная сторона этого утверждения утверждает отрицание гипотезы и отрицание вывода в том же порядке, в каком они появляются в исходном утверждении. Таким образом, обратное утверждение гласит: «если n² не нечетно, то утверждение не является нечетным». Другой способ написать это — «если n² четно, то
является четным», потому что «не нечетное» означает «четное».
Квадрат числа 3 равен 9, что также является нечетным числом.
Помните, что если утверждение p → q , то и обратное ¬p → ¬q
Обратное утверждение — это когда гипотеза и вывод меняются местами. Другими словами, для утверждения p → q
верно обратное p → q. Из примера «если небо голубое, значит, на нем солнечно» следует обратное утверждение: «если на улице солнечно, значит, небо голубое».
Инверсия и обратное утверждение различаются. В обратном утверждении сохраняется порядок следования гипотезы и заключения, но и гипотеза, и заключение отрицаются. Обратное утверждение меняет порядок следования гипотезы и заключения, но ни гипотеза, ни заключение не отрицаются. Утверждение «если небо не голубое, значит, на нем не солнечно» отличается от утверждения «если на улице солнечно, значит, небо голубое». Важно отметить, что если обратное утверждение истинно, то обратное также истинно.
Пример утверждения обратной логики
Снова рассмотрим утверждение «если n нечетно, то n² четное». Чтобы создать обратное утверждение, гипотеза и вывод должны быть заменены местами. Обратным утверждению является «если n² нечетно, тогда n нечетно.» В этом случае верно и обратное утверждение. Однако обратное не всегда верно. Например, рассмотрим утверждение «если четырехугольник является квадратом, то у него четыре стороны равной длины». Это утверждение поддается проверке. С другой стороны, утверждение «если четырехугольник имеет четыре стороны равной длины, то это квадрат» неверно. Это потому, что ромб имеет четыре стороны одинаковой длины, но это не квадрат.
Этот ромб не является квадратом, потому что у него четыре угла различной величины.
Многоугольник ABCD имеет четыре стороны равной длины, но не имеет четырех равных углов, потому что это ромб, который не является квадратом.
Противоположное утверждение
Противопоставление утверждения берет исходные утверждения, отрицает гипотезу и вывод и меняет порядок следования гипотезы и вывода местами. Противоположность утверждения логически эквивалентна исходному утверждению. Для утверждения «если небо голубое, значит, на нем солнечно» противопоставлением является «если на улице не солнечно, значит, небо не голубое».
Пример противоположного утверждения
Еще раз рассмотрим утверждение «если n²нечетно, то n² является нечетным». Чтобы создать контрапозитив, опровергните как гипотезу, так и вывод, затем поменяйте их порядок местами. Таким образом, противоположностью этого утверждения является «если n² не является нечетным, то n не является нечетным». Другими словами, «если n² является четным, тогда n является четным.» Противопоставление — это мощный инструмент. При написании доказательства может оказаться проще проверить противоположное утверждение, чем доказать исходное утверждение. В связи с тем, что контрапозитивное утверждение логически эквивалентно исходному утверждению, важно доказать контрапозитивное утверждение вместо исходного утверждения.
Обратные, инверсные и противоположные утверждения
Рассмотрим теорему «если a делит b, а b делит c, то a делит c». Каково обратное значение этого утверждения?
| Тип | Утверждение |
|---|---|
| Оригинал | Если a делит b, а b делит c, то a делит c. |
| Обратное | Если a не делит b или b не делит c, то a не делит c. |
| Преобразовать | Если a делит c, то a делит b и b делит c. |
| Противоположное | Если а не делит с, то а не делит b или b не делит с. |
Краткое содержание урока
Условный оператор — это оператор if-then. В нем есть гипотеза, которая является частью утверждения «если», и вывод, который является частью утверждения «тогда». Гипотеза — это условия, необходимые для того, чтобы прийти к какому-либо выводу. Если утверждение таково: «если p, то q», то математически оно записывается как p → q. Здесь p — гипотеза, а q — заключение. Логическая эквивалентность — это когда два утверждения имеют одинаковое значение истинности или два утверждения доказуемы друг из друга.
Обратное условному утверждению отрицает гипотезу и вывод и сохраняет их порядок. Для утверждения «если p, то q» обратным является «если не p, то не q». Обратное условному утверждению меняет порядок следования гипотезы и вывода местами. Обратное «если p, то q» — это «если q, то p». Обратное логически эквивалентно обратному. Противопоставление условного утверждения как меняет местами гипотезу и вывод, так и отрицает как гипотезу, так и вывод. Для утверждения «если p, то q» противопоставлением является «если не q, то не p». Противопоставление логически эквивалентно исходному утверждению.
Часто задаваемые вопросы
Что является обратным исходному утверждению?
В обратном исходному утверждении сохраняется порядок следования гипотезы и вывода. Однако это опровергает гипотезу и вывод.
Что является противоположным в математических рассуждениях?
Противопоставление утверждения отрицает гипотезу и вывод, меняя при этом порядок следования гипотезы и вывода. Для утверждения «если p, то q» противопоставлением является «если не q, то не p».
Что такое обратное и контрапозитивное?
Обратная сторона условного утверждения сохраняет порядок следования гипотезы и вывода, отрицая при этом как гипотезу, так и вывод.
Обратное изменяет порядок следования гипотезы и вывода на противоположный.
Противопоставление как меняет порядок следования гипотезы и заключения, так и отрицает гипотезу и заключение.
Каков пример обратного утверждения?
Рассмотрим утверждение «если идет дождь, значит, оно мокрое». Обратное этому утверждению звучит так: «если на улице мокро, значит, идет дождь».
Каков пример обратного утверждения?
Рассмотрим утверждение «если горит зеленый сигнал светофора, тогда езжайте». Обратная сторона этого утверждения звучит так: «если сигнал светофора не зеленый, то не проезжайте».
Является ли обратное эквивалентным обратному?
Да, обратное эквивалентно обратному. Обратное истинно только в том случае, если истинно обратное, потому что обратное является противоположностью обратного.
