Треугольники могут быть самых разных форм и размеров, в том числе остроугольные, тупые, равнобедренные, равносторонние или прямоугольные. При таком большом разнообразии типов треугольников определение того, являются ли треугольники равными или подобными, на первый взгляд может показаться запутанным, но на самом деле это довольно просто. Два или более треугольника считаются равными, если соответствующие им углы и длины сторон равны. Чтобы показать, что соответствующие стороны равны, обозначьте равные стороны фигур одной, двумя или тремя линиями. Чтобы указать размеры равных углов, отметьте равные углы фигур одной, двумя или тремя изогнутыми линиями. Символом, обозначающим на письме равные треугольники, является тильда (~), написанная над знаком равенства (=) между названиями треугольников.
Два равных треугольника
Два или более треугольника являются подобными треугольниками, если соответствующие им углы равны. Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны, а не равны по длине. Например, треугольник, похожий на другой с длиной сторон 3, 6 и 8, может иметь длину сторон 6, 12 и 16 или, возможно, 1,5, 3 и 4. По сути, подобные треугольники имеют одинаковую форму, но различные размеры. Как уже говорилось ранее, символом, обозначающим подобные треугольники на письме, является тильда (~) между названиями треугольников.
Два подобных треугольника
Теорема о сумме треугольников
Теорема о сумме треугольников утверждает, что сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам. Это правило применимо ко всем треугольникам, независимо от их размера и классификации. Двумя распространенными типами прямоугольных треугольников являются треугольник 30-60-90 и треугольник 45-45-90. Кроме того, равносторонние треугольники имеют углы 60, 60 и 60. Обратите внимание, что внутренняя сумма углов каждого из этих типов треугольников дают в сумме 180. Теорема о сумме треугольников особенно полезна при решении задач, требующих нахождения измерения угла. Например, чтобы найти измерение угла треугольника с углом A = 42 и углом B = 56, третий угол можно быстро вычислить простым вычитанием. Вычтите 42 и 56 из 180, чтобы определить, что измерение недостающего угла равно 82.
Теорема о третьем угле
Теорема о третьем угле гласит, что если два угла одного треугольника совпадают с двумя соответствующими углами в другом треугольнике, то третьи углы треугольников также совпадают. Рассмотрите следующее, чтобы доказать логику, поддерживающую определение теоремы о третьем угле для треугольников ABC и XYZ, как показано на рисунке:
| угол A = угол X и угол B = угол Y | |
| угол A + угол B + угол C = 180 | теорема о сумме треугольников |
| угол X + угол Y + угол Z = 180 | теорема о сумме треугольников |
| угол A + угол B + угол C = угол X + угол Y + угол Z | |
| угол C = угол Z |
Это доказательство показывает, что, поскольку треугольники ABC и XYZ содержат два набора соответствующих равных углов, третий набор соответствующих углов также равен. Если определить, что все три угла равны, это означает, что треугольники подобны. Возможно, что треугольники с тремя равными углами являются равными, а не подобными треугольниками, если длины сторон также равны.
Примеры
Теорема применима как к равным треугольникам, так и к подобным треугольникам на плоскости, поскольку теорема относится только к измерению углов, а не длин сторон. Просмотрите следующие примеры теоремы о третьем угле, чтобы лучше понять, как она работает:
Пример 1. Для треугольников ABC и DEF углы A и D равны, углы C и F равны. Если угол А = 75 и угол Е = 33, то каковы значения недостающих углов?
Решение: Угол D = 75, поскольку он равен углу A. Угол B = 33, поскольку он равен углу E по определению третьей теоремы об углах. Углы C и F равны 72 по определению теоремы о сумме треугольников (180 — 75 — 33 = 72).
Пример 2: В треугольнике MNP угол M = 51 и угол N = 63. В треугольнике QRS угол S = 51 и угол R = 40. Подобны ли треугольники?
Решение: Чтобы определить, подобны ли треугольники, найдите величину третьего угла. Угол P = 180 — 51 — 63 = 66. Угол Q = 180 — 51 — 40 = 89. Треугольники содержат только одну пару равных углов, поэтому они не являются подобными треугольниками.
Пример 3. Рассмотрим три треугольника: ABC, DEF и XYZ. Угол A = угол D, угол E = угол Y, угол F = угол Z и угол C = угол F. Все ли три треугольника подобны?
Решение: Треугольник DEF и треугольник XYZ содержат две равные пары соответствующих углов, поэтому третьи углы также равны (угол D = угол X). Кроме того, треугольник ABC и треугольник DEF содержат две равные пары соответствующих углов, поэтому третья пара также равна (угол B = угол E). Поскольку треугольник ABC подобен DEF, а DEF подобен XYZ, то все три треугольника подобны.
Итог урока
Треугольники одинаковой формы и размера являются равными треугольниками. Равные треугольники имеют равные соответствующие длины сторон и равные соответствующие размеры углов. Символ, используемый для обозначения конгруэнтности, — это тильда (~) над знаком равенства (+). Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но разные размеры. Соответствующие размеры углов подобных треугольников равны, а длины сторон пропорциональны. Символом, обозначающим сходство, является тильда (~). Теорема о сумме треугольников утверждает, что все измерения внутренних углов любого типа треугольника в сумме дают 180. По определению третьей теоремы об углах, если два треугольника содержат две пары конгруэнтных соответствующих углов, третья пара соответствующих углов также будет конгруэнтной. Эта теорема полезна для определения того, подобны ли треугольники, а также для нахождения недостающего измерения угла подобного или конгруэнтного треугольника.
