Математическая индукция: использование и доказательства

Что такое математическая индукция?

В этом уроке мы поговорим о математической индукции. Что это такое? Математическая индукция — это способ доказать математическое утверждение, сказав, что если первый случай верен, то все остальные случаи тоже верны. Итак, представьте цепочку костяшек домино. Если вы толкнете первую костяшку, что произойдет со всеми остальными костяшками домино? Они тоже падают. И вот перед нами пример математической индукции в реальной жизни. Если упадет первая костяшка домино, то упадут и все остальные костяшки домино.

Математическая индукция состоит из двух этапов. Первый — доказать, что наш первый случай верен. Второй — доказать, что если любой другой случай верен, то следующий случай также верен. Это похоже на цепной эффект. Если какой-либо один случай верен, то и следующий также верен. И если это так, то это означает, что все случаи в любой конкретной задаче верны. Точно так же, как с нашими падающими костяшками домино, если упадет первая костяшка домино, то упадут все костяшки домино, потому что если упадет хоть одна костяшка домино, это означает, что упадет и следующая.

Как использовать

Итак, как же нам использовать математическую индукцию для решения? Мы используем ее для доказательства пяти математических утверждений, таких как 1 + 2 + 3 + 4 +. . . + n = (n)(n + 1)/2 верно для всех n. Есть два шага к использованию математической индукции.

Докажите, что первый случай, обычно n = 1, верен.
Предположим, что случай n = k верен, следовательно, случай n = k + 1 также верен.

Доказательство

Итак, давайте посмотрим, как мы используем математическую индукцию. Почему бы нам не пойти дальше и не попытаться доказать утверждение 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = (n)(n + 1)/2?

Начнем с того, что покажем, что случай n = 1 верен. Когда n = 1, наше утверждение принимает вид 1 = (1)(1 + 1)/2. Оценивая это, мы получаем 1 = (1)(2)/2, что равно 1 = 2/2. Тогда это становится 1 = 1. Верно ли это утверждение? Да, это так, и мы доказали наш первый случай.

Второй шаг довольно сложен. Мы предполагаем, что случай n = k верен. Итак, у нас есть утверждение 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k = (k)(k + 1)/2 верно. Теперь нам нужно показать, что если этот случай верен, то верен и случай n = k + 1. Случай n = k + 1 меняет утверждение на 1 + 2 + 3 + 4. . . + к + (к + 1) = (к + 1)((к + 1) + 1)/2.

Чтобы доказать, что это утверждение верно, мы можем использовать наше предположение о том, что случай n = k верен. Обратите внимание, что члены вплоть до термина k + 1 составляют случай n = k, поэтому мы можем заменить все эти члены тем, что им равно, то есть (k)(k + 1)/2. Итак, теперь утверждение, которое нам нужно доказать, принимает вид (k)(k + 1)/2 + (k + 1) = (k+1)((k + 1) + 1)/2. Давайте сложим и умножим все на обе стороны и посмотрим, будут ли они равны друг другу. Если они равны друг другу, то мы докажем, что наше утверждение верно.

Пример расчета математической индукции

Пример расчета

Обе стороны равны друг другу? Да! Мы доказали, что наше математическое утверждение 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n = (n)(n + 1)/2 верно. Все встает на свои места?

Другой пример

Давайте посмотрим на другую проблему. Докажем утверждение 1 + 3 + 5 + . . . + (2n — 1) = n^2.

Начнем с того, что покажем, что случай n = 1 верен. У нас есть 1 = 1^2, что становится 1 = 1. Это правда? Да, обе стороны одинаковы.
Далее предположим, что случай n = k верен. Итак, у нас есть 1+3+5+. . . + (2k — 1) = k^2 верно. Мы воспользуемся этим, чтобы показать, что случай n = k + 1 верен. Случай n = k + 1 равен 1 + 3 + 5 + . . . + (2к — 1) + (2(к + 1) — 1) = (к + 1)^2. Мы видим, что все члены перед последним членом нашей серии соответствуют случаю n = k. Итак, мы делаем эту замену, поскольку знаем, что все эти члены равны k^2. Итак, наше утверждение принимает вид k^2 + (2(k + 1) — 1) = (k + 1)^2. Теперь мы складываем и умножаем обе части, чтобы увидеть, равны ли они.

Пример расчета

Две стороны равны друг другу? Да! Итак, это означает утверждение 1 + 3 + 5 + . . . + (2n — 1) = n^2 верно.

Краткие итоги урока

Чему мы научились? Мы узнали, что математическая индукция — это способ доказать математическое утверждение, утверждая, что если первый случай истинен, то и все остальные случаи также верны. Представьте себе падающее домино. Если вы опрокинете первую костяшку, все остальные костяшки упадут. Два шага к использованию математической индукции:

Покажите, что верен первый случай, обычно n = 1.
Предположим, что случай n = k верен, следовательно, случай n = k + 1 также верен.
Второе лучше всего сделать, предположив, что случай n = k верен. Поскольку мы можем предположить, что этот случай верен, мы можем заменить эту часть тем, что ей соответствует, когда мы пытаемся доказать, что случай n = k + 1 верен.

Поделитесь материалом
Автор статьи: Наталья Венедиктова
Наталья Венедиктова
Историк-исскусствовед, специалист в области истории, географии и искусства. Много путешествовала, изучала эволюцию художественных стилей, культурные контексты произведений и влияние искусства на общественные и исторические процессы.
Наталья Венедиктова опубликовал статей: 315

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *