Кванторы в логике
Давайте вспомним, что множество натуральных чисел, N={1,2,3,4,5,6…..}, и множество целых чисел определяется как Z={….−3,−2,−1,0,1,2,3,4,….}
Мы также определим открытое предложение, которое представляет собой предложение, содержащее одну или несколько переменных. Например, мы могли бы определить P(x) as x < 3.
Нам также необходимо определить универсум дискурса, который означает все возможные числа или другой рассматриваемый объект набора.
Почему универсум дискурса, или универсум вселенной, важно определить для каждой проблемы? Используя это P(x) в качестве примера, если мы рассматриваем только значения x, такие, что x является натуральным числом, (x∈N) , мы бы имели только x∈{1,2}, тогда как если x определено так, что x является целым числом, (x∈Z), то x∈{….−4,−3,−2,−1,0,1,2}
Что такое логика квантификатора и математика квантификатора, также известная как дискретная математика квантификатора?
Есть два общих квантора, используемых для определения набора, с которым мы работаем.
Определение квантора — это оператор, который сообщает нам, какой из элементов универсума дискурса применяется к открытому предложению.
Первый называется универсальным квантором. Символом универсального квантора является ∀ и читается как «для всех».
Второй называется экзистенциальным квантором. Символом экзистенциального квантора является ∃, и читается как символ «существует». Мы иногда описываем это как «существует символ» или «обратная электронная математика».
Примеры квантификаторов
Часто числа — это то, что мы используем для обозначения математического языка, но не всегда.
Пример: Пусть во вселенной будут все натуральные числа:
(∀x)(x is a положительное число) читается как «для всех x, x — положительное число». Напомним, что мы определили нашу вселенную как состоящую исключительно из натуральных чисел. Следовательно, это верное предложение, поскольку все натуральные числа являются положительными числами.
Если мы написали: (∃x)(x это четно), то это говорит о том, что «существует x, такое, что x четно». Есть ли среди натуральных чисел хотя бы одно четное число? Да, 2 четно, а 2 — натуральное число, следовательно, это утверждение верно.
Необязательно использовать только цифры.
Например, мы можем сделать так, чтобы в нашей вселенной были одни собаки. Тогда(∃x)(x коричневый). Это было бы переведено как «существует x, такой, что x коричневый», или поскольку x определяется как собака, «существует собака, такая, что собака коричневая».
Коричневая собака
Универсальный символ квантификатора
Универсальный квантор представлен ∀ так. Для открытого предложения P(x) и переменной x предложение (∀x)(P(x))
читается как «для всех x, P(x)».
Примеры универсальных кванторов
Пусть вселенная будет натуральными числами для этого примера с квантором.
(∀x)(2x+1 нечетное число) будет читаться как «для всех x 2x + 1 — нечетное число. Вся наша вселенная состоит из натуральных чисел, поэтому мы могли бы также прочитать это как «для всех натуральных чисел, заданных через x, 2x + 1 — нечетное число».
(∀x)(x+1>x) будет читаться как «для всех x, x + 1 > x». Опять же, поскольку вся наша вселенная состоит из натуральных чисел, мы могли бы также прочитать это как «для всех натуральных чисел, заданных x, x + 1 > x».
Опять же, нам не нужно ограничиваться только цифрами в качестве примеров.
Мы могли бы позволить нашей вселенной быть совокупностью всех учеников в классе. Если все студенты сдают экзамен, мы могли бы написать:
(∀x)(x проходит тест). Это было бы переведено непосредственно как «для всех x x сдает тест», или, поскольку вселенная учитывает всех учащихся в классе, «для всех учащихся в классе учащиеся сдают тест».
Символ экзистенциального квантора
Определение: Символ квантора существования представлен символом ∃. Для открытого предложения P(x) и переменной x предложение (∃x)(P(x)), которое читается как «существует x, такое, что P(x)»
Примеры экзистенциальных кванторов
Пусть вся вселенная состоит из целых чисел.
(∃x)(|x|>5) было бы переведено как «существует x, такое, что |x|>5. Поскольку вселенная определяется как множество всех целых чисел для этой задачи, это также можно перевести как «существует целое число, такое, что |x|>5» .
Обратите внимание, что даже если мы говорим «существует», это не означает, что существует только одно целое число, такое |x|>5, что было бы неверно. На самом деле существует бесконечно много целых чисел, которые соответствовали бы этой характеристике, все целые числа больше 6 и все целые числа меньше -6. Итак, «существует» не означает, что есть только один, который соответствует этой характеристике, просто есть по крайней мере один.
С другой стороны, не каждое математическое предложение истинно.
(∃x)(|x|<0) было бы переведено как «существует x, такой, что|x|<0» Напоминая себе, что абсолютное значение числа определяется как его расстояние от нуля в числовой строке, и, следовательно, каждое абсолютное значение должно быть либо 0, либо положительным числом, мы можем видеть, что это ложное утверждение.
Опять же, нам не обязательно ограничиваться только цифрами.
Пусть вселенная будет определена как все кошки в мире.
(∃x)( x — белый ) можно было бы перевести прямо как «существует x, такой, что x белый» или, поскольку вселенная определяется как все кошки, «существует кошка, такая, что кошка белая». До тех пор, пока в мире есть хотя бы одна белая кошка, это предложение будет верным.
Часто задаваемые вопросы
Что такое кванторы в дискретной математике?
Квантор сообщает нам, какое количество элементов делает предикат истинным. Двумя основными кванторами являются квантор всеобщности и квантор существования.
Что такое логические утверждения и кванторы?
Логическое утверждение — это утверждение, которое либо истинно, либо ложно, но не то и другое одновременно. Квантор сообщает, какие элементы во вселенной удовлетворяют данному утверждению.
Как использовать квантификатор в предложении?
Есть два основных квантора: универсальный квантор «для всех» и экзистенциальный квантор «существует». В предложении можно использовать квантификатор, заявив: «Существует кошка, например, кошка белая».
Какие существуют виды кванторов?
Есть два широко используемых квантификатора. Первый – это квантор всеобщности, который переводится как «для всех». Второй – экзистенциальный квантор, который переводится как «существует».
