Индуктивное против дедуктивного рассуждения в геометрии

Для чего используются дедуктивные и индуктивные рассуждения в геометрии?

В геометрии есть два типа рассуждений; индуктивный и дедуктивный. Индуктивное рассуждение приходит к выводу после конкретных наблюдений, в то время как дедуктивное рассуждение использует ранее известные факты и теории, чтобы прийти к конкретному выводу. Обычно, индуктивные рассуждения используются для выдвижения гипотезы, а дедуктивные рассуждения используются для доказательства этих аксиом и теорем. Например, после рисования нескольких треугольников с одинаковыми внутренними углами и разной длиной сторон можно заметить, что соотношения длин соответствующих сторон равны. Используя индуктивные рассуждения в геометрии, можно прийти к выводу, что если внутренние углы двух треугольников равны, то эти два треугольника подобны. Дедуктивные рассуждения доказывают это наблюдение, используя свойства подобных треугольников и коэффициенты подобия.

Что такое индуктивное рассуждение?

Предположим, человек приезжает в деревню и встречает пять паршивых овец. Индуктивный вывод, сделанный из этого наблюдения, мог бы быть таким: «Все овцы черные, поскольку все пять овец черные». Индуктивное рассуждение основано на наблюдении закономерностей. Хотя это полезный подход к формированию гипотезы, если выводы не доказаны алгебраически или геометрически, этот метод не является действительным математическим методом. Как и в примере, не все овцы черные, и индуктивные рассуждения поднимают вопрос: «Сколько наблюдений достаточно, чтобы сказать, что гипотеза верна?» Следовательно, гипотеза, сформированная путем индуктивных рассуждений, требует алгебраического или геометрического доказательства, чтобы быть принятой как истинная.

Примеры геометрии индуктивного рассуждения

При применении определения индуктивного рассуждения к геометрии процесс начинается с наблюдения закономерностей, затем эти наблюдения организуются и используются для формирования обоснованной гипотезы. Обычно за этим следует метод доказательства.

Например, если вопрос: «Каково максимальное количество областей в круге для данного количества точек на окружности, связанных хордами?»

Чтобы ответить на этот вопрос, первые наблюдения можно сделать, нарисовав круги и создав хорды, как показано на диаграммах ниже.

 Образованные одной и двумя пинтами

Сформировались с тремя и четырьмя точками

После рисунков была составлена ​​диаграмма, показывающая количество точек (n) и количество регионов (r).

Количество точек (n) и количество регионов (r)

На графике появляется, когда количество точек увеличивается на 1, количество регионов в два раза превышает предыдущее количество регионов. Можно сделать вывод, что количество регионов всегда является степенью 2. На основании наблюдений можно также сделать вывод, что связь между количеством точек и количеством регионов есть r=2⁽ⁿ⁻¹⁾.

Однако если продолжить рисунки до 6 точек по окружности и подсчитать количество образовавшихся областей, получится 31 область. Это наблюдение является контрпримером к выдвинутой гипотезе. На самом деле формула количества регионов, созданных n точками, гораздо сложнее. Итак, «сколько наблюдений будет достаточно, чтобы утверждать, что вывод верен?» Ответ таков: наблюдений никогда не бывает достаточно, чтобы утверждать утверждение или гипотезу верна. Чтобы сказать, что это правда, нужно доказать алгебраически или геометрически.

Другим примером индуктивного рассуждения в геометрии может быть то, что после рисования нескольких прямоугольников и измерения обеих диагоналей каждого прямоугольника гипотеза может быть сформулирована следующим образом: «В прямоугольнике две диагонали конгруэнтны» или «В прямоугольнике две диагонали имеют одинаковую длину». «что на самом деле верно, но это нужно доказать с помощью теорем и фактов геометрии.

Что такое дедуктивное рассуждение в геометрии?

Как упоминалось ранее, определение дедуктивного рассуждения в геометрии говорит нам, что этот процесс использует логику для получения выводов, основанных на ранее принятых фактах или предпосылках. Поскольку выводы основаны на ранее известных фактах, более надежно прийти к правильным выводам по сравнению с индуктивным рассуждением.

Например:

1. Вчера был понедельник
2. Завтра среда

тогда вывод дедуктивного рассуждения будет таким: «сегодня вторник». Хотя дедуктивные рассуждения в геометрии более надежны для получения правильных выводов, важно выбрать правильные предпосылки, чтобы начать процесс рассуждения. Если бы вчера был не понедельник, а завтра не среда, то вывод, сделанный на основе неверных предпосылок, привел бы к неправильному заключению.

Примеры геометрии дедуктивного рассуждения

Дедуктивные рассуждения в геометрии можно использовать для написания выводов, основанных на известных фактах и ​​теоремах геометрии.

Пример 1

На рисунке углы 1 и 2 равны.

Соответствующие углы равны

Какой вывод можно сделать о строках 1 и 2, используя дедуктивные рассуждения?

Решение

Известные факты:

1. Линии 1 и 2 разрезаются поперечной линией.
2. Углы 1 и 2 равны.
3. Если две прямые пересечены поперечной линией, то соответствующие углы равны.

Следовательно, вывод дедуктивного рассуждения таков: «Линии 1 и 2 параллельны».

Пример 2

На рисунке ABCD — четырёхугольник.

Четырехугольник ABCD

Учитывая, что

• АС=BD
• AC перпендикулярен BD.

Какой вывод можно сделать о четырехугольнике ABCD, используя дедуктивные рассуждения.

Решение

• АС=BD
• AC перпендикулярен BD.
• В квадрате диагонали перпендикулярны и равны

Следовательно, ABCD — квадрат.

Итог урока

В геометрии есть два типа рассуждений; индуктивное рассуждение и дедуктивное рассуждение. Индуктивное рассуждение делает выводы на основе наблюдений. Примером индуктивного рассуждения может быть:

Автобус опоздал в три понедельника. По понедельникам в школьной столовой не было сэндвичей. Поэтому, когда автобус опаздывает, в столовой нет сэндвича. Поскольку не существует фиксированного количества наблюдений, позволяющих сказать, что вывод верен, индуктивные рассуждения полезны только для выдвижения гипотез о наблюдениях, но выводы не всегда математически обоснованы. Гипотеза индуктивного рассуждения является началом доказательства. Чтобы гипотеза была принята как истинная, потребуются алгебраические или геометрические доказательства. Дедуктивное рассуждение основывает выводы на ранее известных фактах и ​​теоремах. Хотя это более надежный метод, чем индуктивный метод, если посылки не основаны на истинных утверждениях, вывод дедуктивного рассуждения будет неверным.

Часто задаваемые вопросы

Что такое индуктивные и дедуктивные рассуждения в геометрии?

Индуктивное рассуждение приходит к выводам на основе наблюдений. Оно не является математически обоснованным, если утверждение не доказано. Дедуктивное рассуждение приходит к выводам на основе ранее известных фактов и теорем. Хотя он более надежен, чем индуктивные методы, если исходные посылки неверны, вывод, полученный с помощью дедуктивного рассуждения, также будет неверным. Поэтому важно начать с истинных предпосылок.

Что является примером индуктивного рассуждения в геометрии?

Индуктивные рассуждения основаны только на наблюдениях. Например, если нарисовать квадрат и его диагонали, можно заметить, что его диагонали равны по длине и перпендикулярны друг другу. Используя индуктивные рассуждения, можно сделать вывод: «В квадрате диагонали перпендикулярны и равны по длине».

Являются ли доказательства геометрии индуктивными или дедуктивными?

В геометрии возможны как доказательства по индукции, так и доказательства по дедукции. Доказательство по индукции начинается с наблюдений и распространяется на общее утверждение, тогда как доказательство по дедукции использует ранее известные факты и теоремы. При доказательстве по индукции важно делать обобщения, используя строгие этапы метода доказательства, тогда как при доказательстве путем дедукции для того, чтобы доказательство было действительным, исходные факты должны быть истинными.