Неопределенные термины
Неопределенные термины в геометрии относятся к элементам, которые, хотя и часто объясняются, не имеют формального определения. Эти элементы служат основой для других четко определенных элементов и теорем. Отсутствие определения таких терминов, как точка и линия, не делает их менее важными или менее конкретными. Их можно наглядно представить, как показано на рисунке 1.
Рисунок 1: Визуальное представление точки A и точек пересечения линий B и C.
Определение* неопределенного термина или объяснения часто содержит общие понятия во всей геометрической литературе. Например, определение точки обычно включает в себя такие термины, как положение и размер. Второй термин также соответствует большинству определений линии, для объяснения которых обычно используется сам термин «точка». Геометрическое определение линии всегда представляет собой препятствие, поскольку оно часто опирается на повседневное представление о том, что такое линия.
*Слово определение может использоваться в этом уроке как синоним описания. Неопределенность геометрических терминов здесь не означает отсутствия возможного описания; это означает, что они получают более гибкое объяснение, которое варьируется в зависимости от источника.
Что такое неопределенные термины в геометрии?
Точка, линия, плоскость и множество — популярные примеры неопределенных терминов в геометрии. В следующих подразделах каждый из них будет рассмотрен индивидуально, проливая свет на абстрактную идею неопределенных терминов в евклидовой геометрии.
Что означает «точка» в геометрии?
Точку в геометрии можно определить как безразмерную метку, обозначающую местоположение в пространстве. Отсутствие размеров означает отсутствие ширины, высоты и глубины точки. Это определение звучит нелогично, поскольку точка визуально представлена небольшим кругом, который, будучи геометрической фигурой, имеет два измерения. Однако следует помнить, что визуальное представление обычно приводит к экстраполяции того, чем на самом деле является элемент в теории.
Рисунок 2: Точка A (x, y) на рисунке обозначает местоположение в системе координат.
Точка на рисунке 2 отмечает место, где x равен 2, а y равен 5 в системе координат. Следовательно, точку A(x,y) можно записать как A(2,5). В трехмерной системе координат точка A будет называться A (x, y, z), где переменные x, y и z выражают положение точки в каждом измерении.
Чтобы расширить представление о том, что означает точка в геометрии, набор из них может также обозначать «встречу» двух сторон многоугольника, как показано в прямоугольнике на рисунке 3.
Рисунок 3: Прямоугольники с вершинами в точках A, B, C и D.
Что означает «линия» в геометрии?
Термин «точка» является важной частью описания того, что такое линия в геометрии. Линию обычно описывают как прямое одномерное соединение между двумя точками, простирающееся бесконечно в обоих направлениях. Его также можно описать как бесконечную последовательность коллинеарных точек, растущих в обоих направлениях. Легко заметить, как часто объяснение неопределенного термина строится на другом неопределенном термине, что делает описание еще более абстрактным. Инстинктивно и неформально можно было бы даже попытаться описать геометрическую линию как бесконечную прямую (в общеизвестном смысле). На рисунке 4 показано, что фигура не может содержать целую линию, поскольку она растет бесконечно. Чтобы решить эту проблему, линия визуально представляется сегментом со стрелками на каждом конце. В письменной форме линия может быть обозначена строчной буквой или двумя буквами, обозначающими точки, пересекаемые линией, перезаписанной сегментом с двумя стрелками.
Рисунок 4. Визуальные и символические представления геометрической линии в отличие от теоретической линии, которую невозможно полностью представить с помощью изображения.
Сегмент линии, который представляет собой конечную часть линии с двумя явными конечными точками, может использоваться для определения многоугольника. Например, прямоугольник на рисунке 3 представляет собой геометрическую фигуру, определяемую четырьмя отрезками:
̅AB, ̅BC, ̅CD
Важно отметить, что символ отрезка линии записывается двумя его конечными точками с надчеркиванием без стрелок.
Что означает «плоскость» в геометрии?
В геометрии плоскость определяется как плоская поверхность (двумерная), простирающаяся бесконечно в двух измерениях. Плоскость определяется тремя точками, и согласно геометрическому утверждению, для каждых трех точек в пространстве существует уникальная плоскость.
Рисунок 5. Визуальное представление плоскости в геометрии, содержащей точки E, F и G.
Как и в случае с другими неопределенными терминами, плоскость придает абстрактность элементу, имеющему менее трех измерений. Если подумать о листе бумаги, который растет бесконечно, его все равно недостаточно, чтобы соответствовать теоретическому определению плоскости, потому что даже самая тонкая бумага все равно будет иметь некоторую толщину. Геометрическая плоскость может обозначаться заглавной буквой (например: P). В утверждении эта буква обычно следует за термином «плоскость», например: «плоскость P содержит точки E, F и G».
Что означает «множество» в геометрии?
В геометрии и даже в математике множество— это еще один неопределенный термин, который можно описать как группу или совокупность неупорядоченных объектов, например чисел. Множество представлено в виде элементов в фигурных скобках, например, в {E, F, G}, который представляет набор точек на плоскости P из предыдущего раздела. Представление множества также содержит многоточие для обозначения бесконечного роста последовательности, например:
{2, 4, 6…} для набора всех четных положительных чисел.
Или для представления большой коллекции элементов, например:
{1, 2, 3…98, 99, 100} для набора целых чисел от 1 до 100.
Неопределенные термины в геометрии: 5 примеров
В этом разделе показаны примеры того, как неопределенные термины, включая точку, линию, плоскость и множество, применяются в геометрии для построения понятий и теорем.
- Для любых двух точек существует только одна линия.
- Если пересечение двух прямых образует 900 угол, то четыре угла при пересечении будут равны 900
- Отрезок линии — это линия с двумя конечными точками.
- Локус точек — это набор точек, удовлетворяющих определенному условию.
- Угол образуется единственной точкой, из которой выходят два луча.
Итог урока
Этот урок был посвящен терминам, которые в геометрии считаются неопределенными. Эти термины обычно несут абстрактное объяснение с использованием примеров и фигур речи. Эти объяснения обычно неопределенны в том смысле, что они отражают языковые различия в литературе. Эта неопределенность не означает отсутствия важности. На самом деле неопределенные понятия, такие как точка, прямая, плоскость и множество, чрезвычайно важны для построения других понятий и теорем геометрии.
Точку можно описать как безразмерную метку, определяющую положение в пространстве. Линию можно описать как одномерное прямое соединение между двумя точками. В геометрии линия неограниченно растет в обоих направлениях, а это значит, что у нее нет конечных точек. Плоскость — это бесконечная двумерная плоская поверхность без толщины, определяемая тремя точками. В свою очередь множество можно описать как группу элементов, например чисел, записанных в фигурных скобках. Бесконечные наборы могут представлять собой символ многоточия после элементов, а большой набор может иметь многоточие, обозначающее количество элементов, которые существуют между начальным и конечным.
Часто задаваемые вопросы
Что является примером неопределенного термина?
Неопределенные термины в геометрии — это понятия, которые обычно описываются с помощью примеров и визуальных представлений, не имея формального описания. Некоторые примеры: точка, линия, плоскость и множество.
Какие четыре неопределенных термина существуют в геометрии?
Существуют основополагающие термины, которые в геометрии считаются неопределенными. Это точка, линия, плоскость и множество. Каждый из этих терминов имеет чрезвычайное значение для построения теорем и других понятий.
