Алгебраические законы — это законы, с помощью которых складывают, вычитают, умножают, делят и иным образом работают с цифрами. Геометрические постулаты — это те основные истины, которые лежат в основе других теорем. Важно изучить и понять эти законы и постулаты, потому что, зная их, вы сможете легко манипулировать уравнениями и решать геометрические и алгебраические формулы. В этом уроке мы рассмотрим коммутативные, ассоциативные, распределительные, рефлексивные, симметричные и транзитивные законы.
Коммутативный закон
Коммутативный закон говорит нам, что мы можем складывать и умножать числа в любом порядке. Записанный алгебраически, коммутативный закон гласит, что x + y = y + x и x * y = y * x. Например, 1+2 также равно 2+1. То же самое и с 1*2. 1*2 — то же самое, что 2*1. Порядок не имеет значения. Но помните, это работает только для любого сложения или умножения. Как только вы их смешаете операции в более сложное выражение, вам придется вычислить его, следуя порядку арифметических операций.
Ассоциативный закон
В то время, как коммутативный закон говорит нам, что мы можем складывать и умножать два числа в любом порядке, ассоциативный закон говорит нам, мы можем складывать и умножать три числа в любом порядке. Алгебраически это записывается как x + (y + z) = (x + y) + z и x(yz) = (xy)z. Например, 1 + (2 + 3) — это то же самое, что (1 + 2) + 3, а 1 (2 * 3) — то же самое, что (1 * 2)3.
По сути, это означает, что нам не нужно использовать круглые скобки для определения порядка сложения или умножения. Оценивая наш пример, мы видим, что обе части равны. 1 + (2 + 3) = 1 + 5, что равно 6. (1 + 2) + 3 = 3 + 3, что также равно 6. Умножение также равно. 1(2 * 3) = 1 * 6, что равно 6. (1 * 2)3 = 2 * 3, что также равно 6.
Распределительный закон
Если мы смешаем умножение со сложением вместе с парой круглых скобок, например x(y + z), тогда применим закон распределения. Он гласит: x умножается и на y и на z. Алгебраически x(y + z) становится xy + xz. Например, 2 в 2 (3 + 4) распределяются на 3 и 4, образуя 2 * 3 + 2 * 4.
Рефлексивный закон
Рефлексивный закон довольно очевиден, поскольку он говорит нам, что число равно самому себе. Используя переменные, x = x или цифры, 1 = 1.
Симметричный закон
Подобно рефлексивному закону, симметричный закон говорит нам, что если одна переменная равна другой, то другая переменная равна первой. Используя переменные, если x = y, то y также равно x. Используя числа, если 1 = 1, то 1 также равно 1. Используя числа и переменные, если 3 = b, то b также равно 3.
Транзитивный закон говорит нам, что если один пример равен второму пример , а второй пример равен третьему, то первый также равен третьему пример. Алгебраически, если x = y и y = z, то x = z. Используя и числа, и переменные, мы имеем: если x = y и y = 3, то x = 3.
Итог урока
Чему мы научились? Мы узнали, что алгебраические законы — это законы, которые говорят нам, как вещи складывают, вычитают, умножают, делят и другими способами объединяются вместе, а геометрические постулаты — это те основные истины, которые являются основой для других теорем:
- Коммутативный закон говорит нам, что x + y = y + x и x * y = y * x.
- Ассоциативный закон говорит нам, что x + (y + z) = (x + y) + z и x(yz) = (xy)z.
- Дистрибутивный закон записывается как x(y + z) = xy + xz.
- Рефлексивный закон говорит нам, что любое число равно самому себе: x = x.
- Закон симметрии гласит: если x = y, то y также равно x.
- И последнее, но не менее важное: транзитивный закон говорит нам, что если x = y и y = z, то x = z.
