Аксиоматическая система
Что такое аксиоматическая система? Я знаю, это звучит сложно, но на самом деле это не так. По определению, аксиоматическая система — это набор аксиом, используемых для вывода теорем. Это означает, что для каждой математической теоремы существует аксиоматическая система, содержащая все аксиомы, необходимые для доказательства. Аксиома – это утверждение, которое считается истинным и не требует доказательства. Это считается отправной точкой рассуждения. Аксиомы используются для доказательства других утверждений. Это основные истины. Например, утверждение о том, что все прямые углы равны между собой, является аксиомой и не требует доказательства. Мы знаем, что все прямые углы равны между собой, и не спорим с этим. Вместо этого мы используем эту информацию, чтобы доказать другие вещи. Совокупность этих основных истинных утверждений образует аксиоматическую систему.
Предмет, который вы сейчас изучаете, геометрия, на самом деле основан на аксиоматической системе, известной как евклидова геометрия. В этой системе есть только пять аксиом или основных истин, которые составляют основу всех теорем, которые вы изучаете. Все можно свести к этим пяти аксиомам. Кто они такие? Позвольте мне рассказать вам.
- Из любой точки в любую другую точку можно провести прямую.
- Отрезок можно бесконечно продолжать в обоих направлениях.
- Круг можно описать центром и радиусом.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если линия, пересекающая две прямые, образует внутренние углы меньше 90 градусов, то две прямые пересекаются на той же стороне, что и углы, которые меньше 90 градусов. Пятая аксиома также известна как постулат параллельности.
Аксиоматические системы также обладают тремя различными свойствами.
Последовательность
Непротиворечивая система докажет либо утверждение, либо отрицание, но не то и другое. Например, если аксиоматическая система смогла доказать утверждение «квадраты состоят из двух треугольников», а также утверждение «квадраты не состоят из двух треугольников», то система не является состоятельной. Система фактически противоречит сама себе. Вы не можете положиться на систему. Поэтому это свойство является обязательным требованием для аксиоматической системы.
Независимость
Следующее свойство – независимость. Аксиомы данной системы считаются независимыми, если аксиома не может быть выведена из других аксиом системы. Если вы можете использовать некоторые аксиомы для доказательства другой аксиомы в системе, то система не является независимой, поскольку одно из утверждений зависит от других. Посмотрите, например, на пять аксиом евклидовой геометрии, и вы увидите, что эта конкретная аксиоматическая система независима, поскольку ни одна из пяти аксиом не может быть доказана четырьмя другими. Аксиоматическая система не обязательно должна быть независимой. Оно может быть как зависимым, так и независимым, поэтому это свойство, в отличие от вышеупомянутого свойства непротиворечивости, не является обязательным для аксиоматической системы.
Полнота
Третье свойство — полнота. Полная аксиоматическая система — это система, в которой для любого утверждения либо утверждение, либо его отрицание можно доказать с помощью системы. Если есть какое-то утверждение, которое система не может доказать или опровергнуть, то система не является полной. Как видите, это довольно большое свойство. Вот почему полнота также не является обязательным свойством. Это свойство трудно реализовать для любой аксиоматической системы.
Итог урока
Итак, что мы узнали? Мы узнали, что аксиоматическая система — это набор аксиом, используемых для вывода теорем, где аксиома — это утверждение, которое считается истинным и не требует доказательства, то есть основная истина. Евклидова геометрия с ее пятью аксиомами образует аксиоматическую систему. Три свойства аксиоматических систем — это непротиворечивость, независимость и полнота. Непротиворечивая система — это система, которая не сможет доказать как утверждение, так и его отрицание. Последовательная система не будет противоречить сама себе. Независимая аксиома системы — это аксиома, которую нельзя вывести или доказать из других аксиом системы. Полная система — это система, которая может подтвердить или опровергнуть любое утверждение. Из трех свойств только свойство непротиворечивости является требованием аксиоматических систем.
