Евклид
Евклид был греческим математиком, который ввел логическую систему доказательства новых теорем. Он был первым, кто доказал, что пять основных истин могут быть использованы в качестве основы для других учений. Он написал серию книг, которые в совокупности становятся учебником под названием «Элементы», в котором он представил геометрию, которую вы сейчас изучаете. Именно в этом учебнике он представил пять основных истин или постулатов, на которых основывалась вся геометрия того времени.
Постулаты Евклида
Что за постулаты он ввел в основу геометрии? Вы можете быть удивлены тем, насколько простыми кажутся некоторые из них. И так и должно быть. Это основные истины, которые должны быть очевидны и не требуют формальных доказательств. Пять постулатов, которые он представил:
- Между любыми двумя точками можно провести линию.
- Любой отрезок прямой можно продлить до бесконечности в обе стороны.
- Круг можно описать только с помощью центральной точки и радиуса.
- Прямой угол равен всем остальным прямым углам.
- Последний также называется постулатом параллельности. Он гласит, что если одна линия пересекает две другие линии и образует с одной стороны угол меньше 90 градусов, то две линии пересекутся на этой стороне.
Глядя на первые четыре, можно увидеть, что это интуитивно понятные и очень простые истины. Как видите, они верны и не требуют формальных доказательств. Последний может показаться не столь понятным, и математики утверждали, что постулат о параллельности требует исследования, но со временем все поняли, что это основная истина, не нуждающаяся в формальном доказательстве.
Эти пять постулатов, или основных истин, также называются аксиомами, и Евклид использовал эти аксиомы для введения своей аксиоматической системы.
Аксиоматическая система
Система аксиом – это система формальных доказательств. Он предоставляет систему, в которой новые теоремы доказываются с использованием основных истин. Поскольку эти теоремы основаны на основных истинах, на них можно положиться и использовать их с уверенностью, что они будут работать и дадут надежные ответы.
Как работает аксиоматическая система? Вы можете думать об этом как об адвокате, пытающемся доказать дело. Юристу нужны достоверные доказательства, которые невозможно опровергнуть. Ему необходимо проанализировать некоторые факты, которые, как он знает, верны, а затем на основе этих фактов построить новые, которые приводят к выводу о виновности или невиновности. То же самое и с аксиоматической системой. Набор основных истин, которые являются самоочевидными, используются для доказательства новых выводов. Математики используют эту систему, чтобы доказать истинность или ложность нового вывода или новой теоремы. Настоящие теоремы затем представляются ученикам или записываются в учебниках. Все эти доказанные теоремы теперь являются частью того, что мы знаем как геометрию. Многие теоремы, которые вы изучите, были доказаны с использованием аксиоматической системы.
Евклидова геометрия
Часть геометрии, использующая аксиоматическую систему Евклида, называется евклидовой геометрией. На протяжении тысячелетий геометрия Евклида была единственной известной геометрией. Но в девятнадцатом веке были введены другие геометрические пространства и способы мышления. Итак, теперь у нас есть евклидова геометрия и неевклидова геометрия. В чем разница? Как видно из основных истин, евклидова геометрия предполагает, что линии и поверхности прямые и плоские. С другой стороны, неевклидова геометрия включает линии и поверхности, которые изгибаются. Сегодня, вы столкнетесь с учениями, основанными на геометрии Евклида, которая предполагает и плоские поверхности, и, использующих искривленные пространства.
Итог урока
Что мы узнали в этом уроке? Мы узнали, что Евклид внес огромный вклад в изучение геометрии, написав серию книг, ставшую учебником. В нем он ввел пять основных истин или аксиом.
Вот они:
- Линии можно провести, соединяя любые две точки.
- Сегменты линий можно бесконечно расширять в обоих направлениях.
- Круги можно описать центральной точкой и радиусом.
- Все прямые углы равны.
- Две линии пересекутся на той стороне, где третья линия пересекает две линии и образует углы меньше 90 градусов.
Эти основные истины становятся основой аксиоматической системы Евклида. Аксиоматическая система — это система, в которой новые теоремы доказываются пятью основными истинами. Поскольку эти новые теоремы могут быть доказаны с использованием основных истин, эти новые теоремы можно считать истинными и использовать в расчетах и для решения большего количества проблем. Сегодня мы изучаем евклидову геометрию, которая определяет линии и поверхности как прямые и плоские, а также неевклидову геометрию, которая имеет дело с изогнутыми линиями и поверхностями.
