С момента зарождения человеческого общества люди использовали различные способы подсчета. В ранней истории человечества древний счет вращался вокруг использования простых меток, сделанных на дереве, камне и даже на костях. Археологические артефакты, извлеченные из человеческих поселений, свидетельствуют о счетных палочках, использовавшихся для отслеживания предметов, датируемых почти 35 000-летней давностью.
Использование меток, это оригинально, но их трудно было использовать для записи больших чисел или выполнения сложных математических операций. С ростом цивилизаций, начавшемся на Ближнем Востоке, и затем распространившимся на Европу и Центральную Америку, социальная сложность возрастала. Люди занимались торговлей, коммерцией, банковским делом и сельским хозяйством. В связи с этими видами деятельности людям потребовалось разработать более сложные способы счета.
Различные методики, разработанные этими цивилизациями, называют древними системами счисления. Созданные древними цивилизациями, вавилонянами, римлянами, майя, индуистской и арабской культурой, концепции подсчета представляют собой основы чисел, математики и естественных наук, изучаемых людьми сегодня.
Типы цифр
Люди использовали множество различных типов цифр на протяжении всей истории. Эти способы счета включают в себя использование клинописи, иероглифов и символов. В клинописи используются клинообразные оттиски, сделанные тростниковыми инструментами, вдавливаемыми в глиняные таблички. Иероглифы, напротив, используют картинки для обозначения слогов или звуков.
В следующих разделах этого урока будут рассмотрены различные типы числовых символов, включая вавилонскую, римскую, майя и индуистско-арабскую методики.
Вавилонская система счисления
Она считается одной из древнейших. Около 5000 лет назад вавилоняне использовали методику с основанием 60, записанную на клинописных табличках. В шестидесятеричной системе используются числа, которые делятся на 60, включая: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.
Считается, что сами вавилонские числа берут свое начало в ранней шумерской цивилизации Ближнего Востока. Они формируются путем вдавливания тростникового инструмента во влажную глину. Символы, составляющие вавилонскую систему, состоят из ряда клиньев, обозначающих число.
Подобно современному счету, вавилонская концепция является позиционной. Это означает, что значение цифры может меняться в зависимости от того, где она находится в числе. Например, цифра 3 может означать:
- 3: три единицы
- 36: три десятка
- 345: три сотни
Хотя древние вавилоняне умели выполнять сложные алгебраические вычисления, в системе не было символического представления нуля. Вместо этого, как видно на клинописных табличках, вавилоняне использовали пробел между цифрами для обозначения нуля.
Пример вавилонских чисел.
В современном обществе метод измерения времени основан на вавилонской концепции с основанием 60. Например, одна минута состоит из 60 секунд, а час — 60 минут.
Римская система счисления
Она имеет интересную историю, связанную с использованием счетных меток на палочках или косточках. При использовании меток подсчета древние люди использовали V-образный знак для обозначения числа пять. Крестик использовался для обозначения десяти. Из этих меток подсчета римляне вывели символы пяти и десяти.
Древние римляне включили эти символы в свою семисимвольную концепцию, которая включала следующие числовые представления:
- I: 1
- V: 5
- X: 10
- L: 50
- C: 100
- D: 500
- M: 1000
Из-за огромных размеров Римской империи этот счет широко использовался по всей Европе почти 2000 лет назад и до позднего средневековья (1250–1500 гг. н.э.). Как и у вавилонян, в древнеримской системе не было нуля. Римляне также не учитывали отрицательные значения чисел.
Однако, в отличие от вавилонских, римские цифры не являются позиционными, а это означает, что их расположение внутри числа не указывает на его значение. Вместо этого, значения каждого символа складывались вместе, чтобы представить число. Например, используя перечисленные выше римские символы, число 1117, выраженное римскими цифрами, будет MCXVII.
Хотя все цифры от 1 до 8 могут быть образованы путем сложения значений символов, числа, содержащие 4 или 9 в качестве последних цифр, образуются путем отнимания 1 от следующего по величине базового числа. Например, 9 выражается как IX, буквально «1 отнять от 10». Точно так же число 49 будет выражаться как IL, или «1, отнять от 50». Число 4 выражается как IV, или «1 отнять от 5».
Пример римских цифр.
В наши дни римские цифры продолжают использоваться в самых разных целях. Например, во многих часах для обозначения времени дня используются римские цифры. Они также используются для дат авторских прав на фильмы и книги.
Система счисления майя
В Центральной Америке народ майя основывал свой метод на двадцатеричной методике. Способ с основанием 20, или двадцатеричная система, используемая народом майя, содержит только три разных символа: форму ракушки, точку и черту. Форма раковины обозначает ноль, точки обозначают единицы, а полоски обозначают пятерки. Как и в вавилонской доктрине подсчета, числа майя являются позиционными, так что их расположение внутри ряда цифр указывает значение этого числа.
Эта методика счисления широко использовалась майя и ацтеками по всей Центральной Америке, начиная почти с 2000 лет назад примерно до 900 года нашей эры. Из-за важности календарных вычислений для культуры майя, эта сложная методика расчетов позволяла майя выполнять сложные математические операции. С исторической точки зрения она представляет собой первую систему, в которой появился символ нуля.
Схема, показывающая цифры майя.
Индо-арабская система счисления
Индо-арабский метод представляет собой систему с основанием 10, которая включает символы для цифр от 0 до 9. Подобно майя и вавилонии, индуистско-арабские числа являются позиционными, то есть расположение числа определяет его значение.
Начиная с IV века до нашей эры, династия Гуптов в Индии начала разрабатывать символы, связанные с индуистскими цифрами. Арабские путешественники в конечном итоге переняли эти символы и привезли их в исламские части Ближнего Востока и Европы в 8 веке нашей эры. Как и у майя, в индуистско-арабской концепции появился символ нуля. Кроме того, в ней также использовались десятичные дроби.
В конце концов, она распространилась по Европе и другим частям мира благодаря исламскому освоению Европы и Азии и сегодня, представляет собой наиболее используемый способ счета во всем мире.
Схема, показывающая происхождение индийско-арабских цифр.
Краткие итоги урока
Древние способы счета относятся к символам, используемым для обозначения цифр, разработанным майя, вавилонянами, римлянами, арабской и индуистской культурами.
Вавилонская система счисления – древнейшая в мире. Для обозначения цифры она использует серию клинописных знаков. Она базировалась на числе 60 и предоставляла более удобный метод для работы с большими числами.
Сложная система, используемая древними цивилизациями майя в Месоамерике была основана на числе 20, она включала две основные единицы: точку и черту. Для обозначения чисел использовались комбинации этих символов. Особенностью способа было использование позиционной нотации, аналогичной десятичной методике, в которой значение цифры зависело от ее положения в числе. Также майя использовали специальный символ — ноль. Эта система широко применялась в их календарях, математике и астрономии, где майя достигли впечатляющих результатов.
Индо-арабская концепция базируется на основании 10 и использует десять цифр: от 0 до 9. Она была разработана в Индии и впервые введена в Европе через арабских математиков в средние века. Она стала широко распространенной и стандартной в мировой математике и используется почти во всех странах современного мира. Важной особенностью является положение цифр в числе, которое определяет их вес и ранг.
Римская система основана на комбинировании римских букв I, V, X, L, C, D и M, для представления чисел. Каждая буква имеет свою числовую стоимость, и числа формируются путем их комбинирования. Особенностью данного учения является отсутствие позиционной нотации, что делает ее менее удобной для выполнения математических операций и работ с большими числами. Однако, она широко использовалась в древности для записи дат, чисел, и до сих пор употребляется в религиозных и общественных контекстах.
Часто задаваемые вопросы
Какая самая древняя система счисления?
Это вавилонская система счисления. Она использовалась в Месопотамии (современный Ирак) около 2000 года до н.э. Она базировалась на числе 60 и имела шестидесятеричную (секстажную) структуру. В этой системе использовались символы для единиц, десятков, сотен и тысяч, и она оказала значительное влияние на развитие математики.
В чем заключалась проблема с древним счетом, в котором использовались метки?
Это был относительно неэффективный метод ведения учета и подсчета больших чисел. Использование физических меток или предметов для представления количества могло быть громоздким и затруднять точный учет при больших значениях.
Например, люди могли использовать камни, палочки, узлы на веревках или другие метки для представления чисел. Однако при необходимости обработки больших чисел этот метод становился неудобным. Такие системы, как вавилонская или римская, были разработаны в ответ на эти ограничения, предоставляя более удобные и эффективные способы представления и манипулирования числами.
