Графики

Что такое сетка?

Если представить, что математика аналогична сборнику рассказов, то уравнения — это слова и язык, а графики — это изображения. Графики рисуют историю, описывая происходящее. В науке графики представляют собой результаты исследования за определенный период времени, картину поведения функции или просто состояние дел в текущий период.

При создании графиков первым шагом является создание сетки. Сетка представляет собой пересечение горизонтальных и вертикальных, равноудаленных и параллельных линий. Это помогает создавать прямоугольные структуры, которые могут быть полезны при рисовании диаграмм. Это также помогает в выравнивании. Некоторые из них имеют другое применение, помимо помощи в создании графиков, например, сетки на обратной стороне копировальной бумаги в технике для облегчения измерения и резки. Сетки встречаются на миллиметровой бумаге, логарифмической бумаге и в опорных проволочных конструкциях для художественного и архитектурного строительства.

Части графика

Графики имеют разный внешний вид и форму. Он состоит из следующих основных частей: осей, точек и их координат, четырех областей, созданных осями, называемых квадрантами, и плоскости, на которой расположены оси, называемой декартовой.

Декартова плоскость

Декартова плоскость — это двумерная координатная плоскость, в которой пересекаются две перпендикулярные линии. Эти линии называются осями x и y. Горизонтальная называется осью X, а вертикальная — осью Y. Точка пересечения называется точкой начала координат. Это обозначается координатами (0,0). Декартова плоскость — это пространство, в котором наносятся точки, рисуются или создаются графики. На рисунке 1 показано, как выглядит декартова плоскость.

Рис. 1. Декартова плоскость с указанием осей x и y.

Квадранты (координатные четверти)

Декартова плоскость делит координатную плоскость на четыре области, называемые квадрантами (четвертями, читаются справа-налево), где оси являются границами. На рисунке 2 показаны квадранты. Он начинается с первого квадранта в правом верхнем углу и идет против часовой стрелки. Каждый из этих квадрантов имеет определенные назначения положительных или отрицательных знаков числовых координат точек:

Рис. 2. Оси делят декартову плоскость на четыре координатные четверти.

Координатная четверть 1: координаты x и y положительны.
Координатная четверть 2: координата x отрицательна, а координата y положительна.
Координатная четверть 3: координаты x и y отрицательны.
Координатная четверть 4: координата x положительна, а координата y отрицательна.

Ось X и ось Y

Ось X и ось Y
На линейном графике оси x y представляют собой горизонтальные и вертикальные линии, которые делят декартову плоскость на квадранты. Ось x — это горизонтальная линия, представляющая действительные числа от отрицательной бесконечности в крайнем левом углу до положительной бесконечности справа. Вертикальная линия называется осью y, которая представляет диапазон графика от самого нижнего значения отрицательной бесконечности до самого высокого верхнего значения положительной бесконечности. Точкой их пересечения является исходная точка, обозначенная как точка (0, 0). Это центр декартовой плоскости.

Пример 1

Данные о продажах (красный) и заказах (зеленый) с течением времени отображаются на графике (см. рис. 3). Что представляют собой оси x и y?

Рис. 3. Линейный график продаж во времени.

РЕШЕНИЕ

Горизонтальная линия, отмеченная годами, — это ось X. Она представляет период. Вертикальная линия, представляющая количество заказов и продаж, представляет собой ось Y.

Координаты в плоскости (пара координат)

Используя сетку и значения x и y на соответствующих осях, можно определить точное местоположение точки. Чтобы представить это расположение точек, для обозначения координатной точки используется пара чисел, разделенных запятой внутри круглых скобок. Эта точка координат, также известная как упорядоченная пара координат, точно указывает, где находится точка на сетке декартовой плоскости.

Упорядоченная пара: (X, Y) +X справа от начала координат, -X слева от начала координат, +Y над началом координат, -Y ниже начала координат.

Пример 2

Определите упорядоченные пары, которые представляют точки A и B на рисунке 4.

Рис. 4. Точки на декартовой плоскости.

РЕШЕНИЕ

Чтобы определить упорядоченную пару точек, опишите расположение точек с точки зрения их направления и расстояния от начала координат.

• Для точки А местоположение осталось на три единицы и на одну единицу выше. Поэтому точка записывается как (-3, 1)
• Для точки B местоположение находится на две единицы вправо и на три единицы вверх. Упорядоченная пара записывается как ( 2, 3 )
• Начало координат — это точка пересечения осей x и y. Его также можно представить как точку с упорядоченной парой (0,0).

Пересечение X и Y (перехват)

Части графика, которые очень полезно идентифицировать, — это точки пересечения x и y. Они расположены вдоль осей. Они представляют значения одной переменной, когда другая равна нулю. X-перехваты также называются нулями или корнями полиномиальной функции. Иногда найти точки пересечения оси x на графике проще, чем алгебраически решать полином. С другой стороны, пересечение оси Y очень полезно при анализе данных во временных рядах. Он представляет собой исходную сумму в нулевой момент времени.

Пример 3

Учитывая рис. 5, определите точки пересечения x и y.

Рис. 5. График, который будет использоваться в примере 3 при нахождении точек пересечения.

РЕШЕНИЕ

• Перехваты по оси X — это точки, пересекающие ось X. На рис. 5 это (-2, 0) и (2, 0).
• Пересечение оси Y — это точка, пересекающая ось Y. На рис. 5 точка пересечения по оси y равна ( 0, -4 ).
• Перехваты по оси x также являются корнями функции и могут использоваться для определения уравнения функции.

Какие метки необходимы для всех графиков?

На каждом графике необходимы метки для осей x и y. Метки осей необходимы для понимания графика или диаграммы. График не имеет смысла без меток. Метка оси Y представляет зависимую переменную или наблюдаемую переменную. Метка оси X представляет независимую переменную. В большинстве диаграмм и графиков в реальных отчетах ось X обычно обозначается как представление времени, например, в годах или месяцах.

Метки пишутся рядом с осями. Для оси X метка размещается под осью X с правой стороны. Метка оси Y расположена рядом с осью в правом верхнем углу.

Пример 4

Каковы соответствующие метки на графике, если график представляет продажи за последний год?

РЕШЕНИЕ

Поскольку на этом графике показаны продажи за прошлый год, на оси X можно обозначить месяцы года. Метка по оси Y — это сумма или выручка в рублях.

Линейный график

Наиболее распространенным графиком, который используется в реальных приложениях, является линейный график осей X и Y. Этот график начинается с сопоставления значений x и y (вход-выход или независимо-зависимый). Эти пары или упорядоченные пары изображаются в виде точек, а затем соединяются линией.

Пример 5

Учитывая следующую информацию, создайте линейный график.

• Период 1: 12 студентов
• Период 2: 22 ученика
• Период 3: 17 студентов
• Период 4: 21 ученик
• Период 5: 15 студентов
• Период 6: 25 студентов
• Период 7: 26 студентов

РЕШЕНИЕ

Линейный график построен на рис. 6.

Рис. 6. Линейный график для примера 5.

Типы графиков

Графики не ограничиваются построением на декартовой плоскости с использованием осей и упорядоченных пар. В математике используются различные типы и формы графиков. Обычно используемые в большинстве бизнес-отчетов показаны на рис. 7.

• Диаграммы с областями показывают область под кривой, чтобы показать прогресс.
• Гистограммы состоят из полос или прямоугольников, которые показывают проценты или суммы.
• Кольцевая диаграмма представляет собой график в форме пончика, на котором показаны проценты.
• Круговая диаграмма представляет собой круговой график, показывающий процентные группы.

Рис. 7. Изображение различных графиков и диаграмм, используемых в презентациях.

Итоги урока

Графики имеют различный внешний вид и форму и состоят из линий и точек сетки. Все графики включают в себя следующие основные части: оси x и y, упорядоченные пары или точки и их координаты, четыре области, созданные осями, называемые координатными четвертями, и плоскость, на которой расположены оси, называемую декартовой плоскостью. Графики рисуют картину того, что представляют собой данные, взаимосвязь переменных друг с другом и их поведение во времени. Графики также определяют точное расположение точек. Например, точка (2,-4) находится в правом нижнем квадранте.

Точка — это упорядоченная пара, определяемая как набор координат, показанных в виде двух чисел внутри круглых скобок. Чтобы построить точку, отсчет всегда ведется от центра декартовой плоскости. Это исходная точка (0, 0). Справа от оси x находятся положительные действительные числа и верхняя часть оси y. Это также является руководством при построении x- и y-перехватов. Положительная линия пересечения x пересекает ось x справа от начала координат. Знание этих назначений точек также помогает определить местоположение четвертей. Наконец, обозначения осей очень важны для полного понимания того, что представляет собой график.

Часто задаваемые вопросы

Каковы основные части графика?

График состоит из следующих основных частей: декартова плоскость пространства, оси x и y, точки и линии, а также метки осей. Вертикальные и горизонтальные линии, пересекающие оси, также называются точками пересечения. Описание упорядоченных пар (для значений x и значений y) размещается на соответствующих осях.

Как называются 4 области графика?

Четыре области графа называются квадрантами или четвертями. Они пронумерованы от 1 до 4, начиная с верхнего правого угла. Каждому квадранту присваиваются положительные и отрицательные знаки координат точки.